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GEORG CANTOR
Una parte di infinito è finita o infinita?
A metà dell'800, con la scoperta
delle geometrie non-euclidee, si fece strada la possibilità di costruire dei sistemi
geometrici che davano la stessa garanzia di coerenza pur partendo da postulati che
parevano contraddire la comune intuizione. L'evento era rivoluzionario se si tiene
conto che fino ad allora, la secolare tradizione voleva che la geometria, così come
del resto l'intero corpo della matematica, fosse fondata su assiomi ovvero su
asserzioni evidenti, non confutabili. Su questi
assiomi poggiano e si sviluppano coerentemente, come una sorta di piramide, tutti i
postulati che ne derivano. Ebbe così inizio
una revisione critica del sapere matematico con l'intento di dare il maggior
rigore possibile alla costruzione di questa disciplina.
Questa esigenza non era fine a se stessa, cioè al puro campo matematico, poichè
la validità dei suoi procedimenti è
strettamente collegata con tutte le scienze che hanno bisogno, nella loro
investigazione scientifica, come strumento fondamentale
proprio della matematizzazione: l'indagine sui fondamenti matematici
equivaleva a far sì che l'intera
speculazione scientifica poggiasse su salde basi.
Il primo ad affermare la necessità di una indagine sui fondamenti della
matematica fu, nel 1886, Katl Weier-strass. Egli riconobbe che potevano
essere chiariti solo partendo da una teoria dei numeri reali. Questa teoria sarà
ripresa più tardi proprio da un allievo che
stravolgerà e darà nuove fondamenta
alla scienza matematica: Georg Cantor.
Figlio di un commerciante di origine danese, Cantor nasce, nel 1845, a
Pietroburgo dove resterà fino a quando la famiglia si trasferirà in Germania.
A Darmstad inizia gli studi di ingegneria, ma la sua spiccata
inclinazione per la matematica finirà col prevalere
e studierà prima a Zurigo e poi a Berlino, matematica, fisica e filosofia.
Si laurea brillantemente nel 1867 e nel 1869 consegue la docenza
presso l'università di Halle dove la presenza
di altri matematici lo stimola ad occuparsi di analisi classica, con studi
specifici sulla teoria delle serie trigonometriche.
Raggiunge ben presto risultati notevoli, in cui accenna già, anche se solo
vagamente, alla teoria degli insiemi che lo renderà celebre.
Nei suoi primi lavori egli considerò insiemi di numeri reali e, per la prima
volta nella storia del pensiero, egli
dimostrò diversi gradi di infinità.
Da qui era logico supporre che le infinità dei punti contenuti con un
numero crescente di dimensioni dovessero essere di volta in volta maggiori. Invece
Cantor arrivò alla conclusione esattamente
opposta: tutti i continui contengono la stessa infinità di punti.
Fin dalle sue origini greche la matematica si era imbattuta in paradossi che
derivavano dall'accettazione dell'infinito attuale e si era cercato, in tutta la
tradizione successiva, di aggirare sempre questo
ostacolo.
La novità e la paradossalità dei
risultati che Cantor aveva ottenuto finirono col creargli non poche difficoltà; il suo
potentissimo ex maestro Kronecker, non vedeva di buon occhio il suo vecchio
discepolo tanto che ostacolò la richiesta di Cantor
di essere chiamato all'università di
Berlino. Weierstrass invece apprezzò subito il
valore delle ricerche cantoriane ed
utilizzò alcuni concetti in suoi lavori di analisi.
Cantor era consapevole della portata della sua teoria e tra il 1879 e il
1884 pubblicherà in sei parti la trattazione
sulla teoria degli insiemi. Trattato che costituisce uno degli eventi più straordinari
nella storia non solo della matematica, ma più
in generale del pensiero, poiché vi si
trovano discusse, oltre alle basi di tutta la
teoria degli insiemi, anche i più
importanti problemi critici, logici, filosofici
connessi con le delicate questioni che la teoria
insiemistica chiama in causa.
La teoria degli insiemi fu presentata da Cantor nel 1883 in un lavoro
intitolato Fondamenti di una teoria universale
degli insiemi, in cui il matematico prendeva in esame il problema
dell'infinito autentico o attuale.
Tale infinito viene concepito come una grandezza
sui generis e quindi definibile chiaramente. Ovvero è un infinito i
cui elementi hanno una corrispondenza biunivoca con quelli di una sua parte o
sottoinsieme; per illustrare questo concetto si ricorse all'esempio della carta
geografica, idealmente perfetta, di un paese,
costituita dal paese stesso, la quale conterrebbe
la propria rappresentazione e una serie di carte dentro altre carte i cui punti
corrispondono esattamente.
Alla teoria degli insiemi fu ricondotta la fondazione dell'analisi e quella
dell'aritmetica, ma proprio quando tale lavoro era appena terminato Russell e
Burali-Forti scoprirono che nella teoria erano
presenti delle antinomie che rimettevano nuovamente tutto in gioco.
Oggi sappiamo che anche Cantor aveva già rilevato queste antinomie nella
sua teoria e che ciò provocò
un'aggravamento delle sue già instabili condizioni psichiche.
Solo dopo molti anni dalla morte di Cantor si dimostrò l'impossibilità di
risolvere tale problema entro la teoria cantoriana degli insiemi, ma per lui era invece
il mancato compimento della sua teoria.
In questi anni si fece promotore della fondazione dell'Unione matematica
tedesca pensata come mezzo per difendere la libertà e l'indipendenza scientifica del
singolo ricercatore nei confronti della cultura ufficiale e del suo immenso potere e fu
tra i fautori di iniziative per dare vita a congressi internazionali in cui i
matematici di ogni angolo del mondo potessero confrontarsi.
Dal 1897 Cantor cessò ogni pubblicazione, pur continuando la sua
attività di insegnante e l'interessamento per
i problemi della sua teoria.
Solo nel 1931 Kurt Godel dimostrerà che se un sistema assiomatico
aritmetico è coerente, non è possibile
dimostrarne la coerenza con mezzi logici in esso formalizzabili.
Iniziarono ad accrescersi i riconoscimenti per la creazione di Cantor
da molte accademie e associazioni scientifiche che lo onorarono e
università che gli conferirono dottorati ad
honorem.
Ma le condizioni di salute di Cantor già nei primi anni del Novecento
lo indussero ad abbandonare l'insegnamento e nel 1905 si dimise da ogni
attività universitaria. Morirà nel 1913 in
una clinica psichiatrica.
Il dibattito sul ruolo dell'infinito nella matematica non può dirsi concluso
ma ciò che possiamo trarne, dal punto di
vista epistemologico, è che l'ambito della
verità è più ampio di quello del sapere
deduttivo: per ogni teoria, per quanto ampiamente esplicitata, esistono proposizioni vere
che non sono afferrabili per deduzione, nonostante possa avere un grande complesso
di assiomi e postulati.
Ciò invita ancora una volta a rilevare come l'attività razionale dell'uomo
non abbia la sua eccellenza nel potere discorsivo raziocinante, quanto nel saper
intuire, vedere la verità.
Maria Campolo
